淺談蒙提霍爾博弈問題 - Monty Hall Program

01/26/2022 Tags: Mathematics

“The Monty Hall problem is a brain teaser, in the form of a probability puzzle, loosely based on the American television game show Let’s Make a Deal and named after its original host, Monty Hall.”

簡介

蒙提霍爾博(Monty Hall problem)問題源自於數學遊戲問題，又可稱為三門問題。這益智遊戲在電影 21劇情中播放過，遊戲的玩法是：“參與者會看見三扇窗關閉了的門，其中一扇的後面有一輛車，選中後面有的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的機率呢？”

簡易的機率論

最初參賽者選中汽車的機率為1/3，當參賽者選定了一扇門，而主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇藏有一隻山羊後，若參賽者堅持不換門，選中汽車的機率為1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 1/3，但參賽者換門，選中汽車的機率將會是 2/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 2/3 ~= 66.67%。

門1	門2	門3
汽車 (1/3)	山羊 (1/3)	山羊 (1/3)

事實上，如果你拒絕改變，一開始就選擇正確的門機率只有1%。在另外99%的情況下，改變而選擇正確的門機率可能會提升至66.67%，但這前提是主持人提供而外的信息，在你選擇的當下告知錯誤的門，此時改變選擇才會提升選擇正確的門機率。

由此可見，蒙提霍爾博問題是一個理性選擇和機遇博弈問題。換句話說，這概念可以在訊息不完全的博弈中，分析出如何正確理解概率的含義以及機率變化的問題。

簡易實作

float Solutions::montyHall(int guess)
{
    int winningNum = 0;
    int switchedNum = 0;
    int switchedCount = 0;
    int elimNum = 0;
    for (int i = 0; i < 1000; ++i) {
        winningNum = getRandom(1, 3, 0);
        elimNum = getRandom(1, 3, winningNum);
        switchedNum = getRandom(1, 3, elimNum);
        while (switchedNum == guess ) {
            switchedNum = getRandom(1, 3, winningNum);
        }
        if (switchedNum == winningNum) switchedCount ++;
    }
    return 100 - (switchedCount / 10);
}

int Solutions::getRandom(int low, int high, int badNum)
{
    int random = rand() % high + low;
    while ( random == badNum ) {
        random = rand() % high + low;
    }
    return random;
}